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Les cas solides : Lac Chauvet, France, 1952 VI - L’analyse des photos par Laurent Guérin

Introduction

L’étude ci-dessous est due à Laurent Guérin, le fils de Pierre Guérin. Ingénieur lui-même, il avait notablement collaboré à l’article de son père sur Chauvet (la version originale publiée dans le JSE le crédite même explicitement pour son aide), en particulier pour tous les calculs trigonométriques.
Lorsque je l’ai retrouvé puis contacté, il a très vite accepté de “reprendre le collier”, et s’est même je crois piqué au jeu lorsque je lui ai soumis l’anomalie du nuage. Il a repris tous les calculs en affinant énormément la méthode, afin de tirer davantage d’informations des photos, et de tenir compte des moindres facteurs pouvant influer sur les calculs.
Je le remercie chaleureusement ici pour son implication et ses talents en géométrie.

Le problème de départ : l’anomalie du nuage

L’“anomalie du nuage” vient du fait que l’extrémité gauche du nuage en bas de la photo 3 semblerait, à première vue, devoir être légèrement visible sur la droite de la photo 4. D’après les calculs de Pierre Guérin, Frégnale a en effet pivoté sur la gauche d’environ 23°, soit sensiblement moins que le champ angulaire couvert par un film 35mm (environ 30°). Voir le chapitre V du dossier Chauvet.

Bien entendu, les calculs initiaux de Pierre Guérin comportaient des marges d’erreur non négligeables qui, cumulées, pourraient expliquer cet écart apparent d’un peu plus de 6°. Mais pour s’en assurer, il fallait recommencer tous les calculs depuis le début.

La méthode

• Idéalement il faudrait prendre un point à l’extrémité gauche du nuage de la photo 3, et calculer ses coordonnées (x, y) sur la photo 4. Si ces coordonnées, malgré les marges d’erreur résultantes, restaient à l’intérieur du cadre 24x36 de la photo 4, alors c’est qu’il y a bien “anomalie”, et donc un fort soupçon de trucage de l’une au moins de ces deux photos.
• Il convient donc de déterminer les formules permettant de calculer ces coordonnées linéaires (x, y) en fonction de coordonnées angulaires de hauteur angulaire et d’azimut (α, β), en tenant compte de la distorsion radiale.
• Or le calcul de β_i en fonction de α_i et α₀ est très sensible à α₀, surtout pour les photos 1 et 2, car cos β_i est proche de 1.
• Ce qu’il convient de faire est donc de tester α₀ de sorte que l’angle entre les directions de l’objet sur les photos 1 et 2 coïncide avec la valeur que l’on peut mesurer sur une photo composite (obtenue grâce à l’arbre).
• Une première donnée à mesurer ou à calculer avec une assez grande précision est donc l’angle entre les deux directions de l’objet sur ces deux photos.

Laurent Guérin a donc patiemment réalisé toutes ces mesures et tous ces calculs. C’est avec lui que cette page a été réalisée. Pour les matheux passionnés, toute la théorie et les équations se trouvent ici.

Retour sur l’analyse des photos du Lac Chauvet, par Laurent Guérin

Rappel de la méthode de calcul utilisée dans l’article original

Les données mesurables :

– les grands axes a_i et petits axes b_i des images de l’objet, dont la distorsion est corrigeable en fonction de la distance mesurable au centre de la photo ;
– les angles γ_i entre la trajectoire supposée de l’objet et la ligne d’horizon (photos 3 et 4 uniquement) ;
– les angles ω_i entre le grand axe de l’image de l’objet et la ligne d’horizon (photos 3 et 4 uniquement) ;
– les angles γ_i–ω_i entre la trajectoire supposée de l’objet et le grand axe de l’image de l’objet (ω_i est compté ici algébriquement contrairement aux formules originales) ;
– les angles γ_i et ω_i sur les photos 1 et 2 sont arbitrairement estimés de sorte que les valeurs γ_i–ω_i soient compatibles avec leurs mesures.

Les formules utilisées :

On trouvera la démonstration des formules, plus complète que celle donnée dans l’article original, ici.
L’aplatissement r_i est donné par b_i/a_i.
(1) sin α_i/a_i = cste ;
(2) cos β_i = tg α_i/tg α₀ ;
(3) tg γ_i = –sin α_i.tg β_i (β_i est compté ici négativement à gauche de l’observateur contrairement aux formules originales) ;
(4) tg α_i = r_i.(1–r_i²)^–½.sin γ_i/sin(γ_i–ω_i) ;
(5) (1–r_i²)^½.sin ω_i = sin Ω_i.sin β_i (Ω_i est compté positivement quand l’objet s’incline de manière à paraître plus circulaire à l’observateur, comme dans les formules originales) ;
Une autre formule importante n’était pas explicitée dans l’article original :
(6) r_i = sin α_i.cos Ω_i+cos α_i.sin Ω_i.cos β_i.

Le résumé de la méthode de calcul originale :

On part des mesures les plus fiables (photo 3) r₃, γ₃ et ω₃ pour en déduire selon (4) α₃.
Une valeur de α₄ est obtenue selon le même principe, car les valeurs ont une fiabilité correcte.
La formule (1) permet d’en déduire les autres α_i ; on constate une excellente concordance entre les deux valeurs obtenues de α₄ ; on constate aussi que les valeurs de α_i pour les photos 1 et 2 sont cohérentes avec celles obtenues selon (4) avec les estimations arbitraires de γ_i et de ω_i.
Comme il est estimé que β₂ est voisin de zéro, une estimation de Ω₂ est donnée à l’aide de α₂ et r₂. Cela correspond en fait à utiliser (6) qui devient ici r₂ = sin(α₂+Ω₂).
Le calcul plus précis de β₂ est alors obtenu grâce à (5) ; (2) conduit alors à α₀.
Cette même formule (2) conduit alors aux autres β_i, puis les autres Ω_i sont alors déduits de (5).
La cohérence des valeurs obtenues (utilisation d’un α moyen entre les photos 1 et 2) est vérifiée pour comparer l’écart angulaire calculé entre ces deux photos et la mesure de cet écart sur une photo composite.

Amélioration de cette méthode de calcul

Constat : il est possible de calculer précisément l’écart angulaire χ entre les positions 1 et 2.

En effet, à partir des mesures des positions d’un certain nombre de points caractéristiques de l’arbre (visibles sur les photos 1 et 2), il est possible de calculer la transformation permettant de passer d’un repère lié à la photo 1 à un repère lié à la photo 2.
A partir des mesures de l’objet sur la photo 1, il est possible de calculer la direction de l’objet dans le repère de la photo 1, puis par la transformation ci-dessus, de calculer cette direction dans le repère de la photo 2 (qui représente la position qu’aurait eue l’objet sur la photo 2 s’il n’avait pas bougé). De même, à partir des mesures de l’objet sur la photo 2, il est possible de calculer la direction de l’objet dans le repère de la photo 2. L’écart angulaire entre les deux positions est obtenu par le produit scalaire entre les deux directions calculées dans le repère de la photo 2.
Deux jeux de test sur des points caractéristiques différents conduisent à des valeurs extrêmement voisines, prouvant la fiabilité et la précision de ce calcul et donc de l’écart calculé. On trouve χ = 13.75° ±0.05°.

Application pratique avec cinq points mesurés :

Comme expliqué dans l’annexe (ici), la transformation est caractérisée par trois paramètres λ, η et ω, qui doivent être déterminés de manière à optimiser l’ajustement des points caractéristiques de la photo 1 sur la photo 2. (Cet ω n’a rien à voir avec l’angle entre le grand axe de l’image de l’objet et la ligne d’horizon sur les photos.)
Le formulaire ci-dessous permet de calculer, pour chacun des paramètres, la meilleure valeur x autour d’une valeur approximative initiale x₀, parmi les valeur x_n = x₀+n.δx, avec –10 ≤ n ≤ 10. Ce processus peut être répété plusieurs fois en prenant la valeur obtenue à une étape comme valeur initiale de l’étape suivante et en diminuant l’incrément, de manière à affiner le résultat.
On entre les mesures des points caractéristiques d_1i et d_2i, φ_1i et φ_2i, les valeurs θ_1i et θ_2i seront automatiquement calculées.
On entre les mesures de l’objet d₁ et d₂, φ₁ et φ₂, les valeurs θ₁ et θ₂ seront automatiquement calculées.
On entre une valeur approximative pour λ, η et ω, et des incréments de test pour ces paramètres. Une méthode graphique d’évaluation des valeurs initiales est expliquée plus bas.
Le bouton lance alors l’optimisation, et l’écart angulaire χ est automatiquement calculé. Il est possible d’affiner le résultat à partir des valeurs ainsi trouvées en diminuant les incréments de test (attention à bien mettre des points et non des virgules aux nombres décimaux).

Obtention graphique des paramètres d_k, d_ki, φ_k, φ_ki, λ, η et ω :

	A l’aide d’un logiciel graphique, on “calibre” par étirement, translation et rotation les photos 1 et 2 de sorte qu’elles aient pour dimension 240x360. (Les fichiers au format jpeg obtenus par copie d’écran qui servent à illustrer cette page ne sont pas aussi précis que ce que permet d’obtenir le logiciel, qui permet de calculer les longueurs et les angles des objets qu’on manipule.) Les traits rouges délimitent le rectangle, les traits bleus donnent le centre. On prend cinq feuilles de l’arbre sur la photo 1 (et visibles sur la photo 2), que l’on relie au centre de l’objet (traits verts), et au centre de la photo (traits cyans). La mesure des traits cyans permet d’obtenir les paramètres d1i et φ1i. Le centre de l’objet est relié au centre de la photo (trait noir). La mesure du trait noir permet d’obtenir les paramètres d1 et φ1. L’ensemble de ces éléments est englobé dans un rectangle (à l’exception des traits cyans) destiné à être reporté puis ajusté sur la photo 2. Voir le résultat ci-contre à gauche (cliquez pour agrandir).
On ajuste alors ce rectangle et son contenu sur la photo 2 de sorte que les extrémités des traits verts coïncident “au mieux” avec les mêmes feuilles. On relié à nouveau les cinq feuilles au centre de la photo (traits cyans). La mesure de ces nouveaux traits cyans permet d’obtenir les paramètres d2i et φ2i. Le centre de l’objet est relié au centre de la photo (trait noir). La mesure du nouveau trait noir permet d’obtenir les paramètres d2 et φ2. On a en outre relié le centre de la photo à la position reportée du centre de la photo 1 (trait jaune), le centre de l’objet à la position reportée du centre de l’objet sur la photo 1 (trait magenta) et enfin le centre de la photo à cette position reportée du centre de l’objet sur la photo 1 (trait rouge). Cela donne la photo 2 composite ci-dessous (cliquez pour agrandir).	On reprend alors ce rectangle et son contenu (à l’exception des nouveaux traits cyans) ainsi que les nouveaux traits, et on reporte le tout sur la photo 1 de sorte à faire coïncider les deux rectangles. Cela donne la photo 1 composite ci-dessous.(Cliquez pour agrandir). Ces photos composites permettent d’estimer les paramètres de la transformation passant du repère de la photo 1 à celui de la photo 2. La mesure de la longueur l du trait jaune (= 9,10 mm) permet d’obtenir une première estimation de λ par tg λ = l/f. On trouve λ = 11,4° environ. L’orientation de ce trait jaune sur la photo 1 composite permet d’obtenir une première estimation de η. On trouve η = –177,6° environ. L’angle que fait le rectangle sur la photo 2 composite permet d’obtenir une première estimation de –ω. On trouve ω = –21,2° environ.

Ce sont ces valeurs, assez précises pour les positions des feuilles et de l’objet sur chaque photo, mais sans doute approximatives pour les paramètres de la transformation, qui sont initialisées dans le formulaire plus haut.
Les valeurs des paramètres de la transformation sont a priori approximatives non seulement parce que la procédure d’ajustement est manuelle au sein d’un logiciel de dessin, mais aussi parce que les éléments que l’on déplace d’une photo à l’autre devraient eux-mêmes être distordus lors du déplacement puisque les centres ne coïncident pas, ce qui n’est pas réalisé dans le processus décrit ci-dessus. D’où la nécessité de procéder à une optimisation mathématiquement rigoureuse implémentée dans le précédent formulaire.
Une première passe avec un incrément de 0,5° conduit à λ = 10,9°, η = –180,1° et ω = –22,7°. En diminuant l’incrément à 0,1°, on obtient alors λ = 11,0°, η = –179,7° et ω = –22,9°. En diminuant l’incrément à 0,01°, on obtient finalement, après une deuxième passe de contrôle, λ = 10,98°, η = –179,81° et ω = –22,88°, et enfin χ = 13,77°.
Il est intéressant de constater cependant que l’on peut tout de même, par ces manipulations graphiques, obtenir une estimation directe de l’écart angulaire entre les deux positions de l’objet. En effet, sur la photo 1 composite, on constate que le vecteur déplacement est quasiment radial. En mesurant la longueur d du trait magenta (= 11,31 mm), on peut considérer que tg(θ₁+χ) = (d₁+d)/f, ce qui donne l’estimation χ = 13,5° environ, valeur extrêmement voisine de celle donnée par le calcul théorique précis avec distorsions.

Une méthode de calcul modifiée :

Le constat plus haut est mis à profit pour dériver de manière différente les paramètres angulaires. En effet, Les premières étapes de cette méthode modifiée sont identiques : α₃ et α₄ sont toujours déterminées grâce à (4), tandis que α₁ et α₂ sont déterminées d’après α₃ grâce à (1).
Pour les photos 1 et 2, α_i est donc fonction de a_i, a₃ et α₃. Comme expliqué dans l’annexe (ici), il se trouve que α₀ est fonction de α₁, α₂ et de l’écart angulaire χ entre les positions 1 et 2. Donc α₀ est entièrement déterminé par a₁, a₂, a₃, α₃ et χ.
La formule (2) permet alors de déterminer les β_i, puis (3) permet de déterminer les γ_i, puis (4) permet de déterminer les ω_i, et enfin (5) permet de déterminer les Ω_i.

Constat : il est possible de calculer précisément la position du nuage sur la photo 4, ainsi que celle de l’horizon sur les photos 3 et 4.

En effet, comme expliqué en annexe (ici), premièrement, connaissant la hauteur angulaire et l’azimut d’un point sur une photo et la position de ce point par rapport au centre de cette photo, il est possible de calculer la hauteur angulaire et l’azimut de l’axe de visée de cette photo ; deuxièmement, connaissant la hauteur angulaire et l’azimut de l’axe de visée d’une photo et la position d’un point par rapport au centre de cette photo, il est possible de calculer la hauteur angulaire et l’azimut de ce point ; et enfin troisièmement, connaissant la hauteur angulaire et l’azimut d’un point et la hauteur angulaire et l’azimut de l’axe de visée d’une photo, il est possible de calculer la position qu’aurait ce point sur cette photo.

Connaissant la hauteur angulaire et l’azimut de l’objet sur la photo 3, on mesure donc sa position pour en déduire la hauteur angulaire et l’azimut de l’axe de visée de cette photo, puis on mesure la position du nuage sur cette photo pour en déduire sa hauteur angulaire et son azimut.
Connaissant la hauteur angulaire et l’azimut de l’objet sur la photo 4, on mesure ensuite sa position pour en déduire la hauteur angulaire et l’azimut de l’axe de visée de cette photo, ce qui permet enfin de calculer la position du nuage sur cette photo, puisqu’on connaît sa hauteur angulaire et son azimut.
Connaissant la hauteur angulaire de l’axe de visée d’une photo, on en déduit la position de l’horizon sur cette photo, puisqu’on connaît sa hauteur angulaire, qui est nulle.
Les mesures des positions sont effectuées dans un repère centré sur l’axe de visée et orienté selon les hauteurs angulaires et les azimuts, directions estimées d’après le nuage sur la photo 3 et d’après le talus sur la photo 4.

Application et détermination des paramètres :

Le formulaire ci-dessous permet de réaliser tous les calculs ci-dessus (attention à bien mettre des points et non des virgules aux nombres décimaux).

On constate qu’effectivement le nuage devrait être visible sur la photo 4 (x_N4 = 8,50mm) avec les valeurs calculées d’après les mesures de l’article original.

Cependant, on constate qu’en faisant varier dans les intervalles définis par les incertitudes mentionnées dans l’article original les grand et petit axes, ou les angles de la trajectoire et du grand axe par rapport à l’horizon pour les photos 3 et 4, on obtient alors des variations conséquentes pour les différents paramètres, et en particulier pour l’abscisse du nuage sur la photo 4. On peut donc dire que cette méthode de calcul est très sensible aux incertitudes.

Rappel des incertitudes originales sur les valeurs brutes :

Prenons par exemple les valeurs brutes extrêmes suivantes :

On constate cette fois-ci que le nuage est bien invisible sur la photo 4 (x_N4 = 12,63mm). L’horizon quant à lui n’est pas modifié et est bien sous le talus (y_H4 = –14,49mm). Mais il peut y avoir d’autres choix permettant ce résultat. Sur les photos 3 et 4 ci-dessous (cliquez pour agrandir), les traits jaunes représentent le système de coordonnées redressé, les traits magenta indiquent la position du nuage et le trait vert celle de l’horizon. Sur la photo 4, les positions du nuage avec les valeurs originales de l’article (anomalie) et le nouveau jeu de test sont représentées.

Nous venons de voir comment expliquer le fait que le nuage ne soit pas visible sur la photo 4 : sa position calculée est extrêmement sensible aux choix des mesures dans leur intervalle d’incertitude. Mais le test ci-dessus n’était qu’un exemple ; encore faut-il aussi que tous les autres paramètres recalculés après coup soient eux aussi cohérents avec leurs mesures (en particulier les angles γ et ω).

Commentaire sur l’interdépendance des mesures :

Ce dernier point mérite d’être commenté : en effet, le formulaire ci-dessus donne pour ces deux angles des valeurs recalculées différentes des valeurs initiales mesurées. Ceci vient du fait que le système d’équations est surdéterminant si l’on considère r, γ et ω comme des paramètres et α et β comme des inconnues. Plus précisément, on a dans ce cas 17 paramètres (les a_i, r_i, γ_i et ω_i ainsi que χ) et 13 inconnues (les α_i, β_i et Ω_i ainsi que α₀), tandis qu’on a 20 équations (3 de type (1)*, 4 de type (2), (3), (4), (5) ou (6)**, ainsi que la relation reliant χ à α₁, α₂, β₁ et β₂). Il est donc patent que les mesures des paramètres ne peuvent être considérées comme indépendantes et que toutes les équations ne peuvent être vérifiées simultanément avec des choix de valeurs mesurées quelconques.
_{* sin αp/ap = sin αq/aq conduit bien à trois équations indépendantes en faisant varier p et q.
** Les équations (4), (5) et (6) ne sont en effet pas indépendantes.}

Si les conditions des mesures étaient telles qu’elles conduisaient à des incertitudes minimes sur tous les paramètres, alors cela invaliderait le modèle mathématique. Or il se trouve que les mesures, en particulier celles de γ et ω sont entachées de larges incertitudes. Il convient donc de les utiliser a minima dans la dérivation des paramètres et de favoriser les autres mesures, comme celles de a et r, et surtout χ. C’est ce que nous avons fait dans le formulaire, où γ₃ et ω₃ sont utilisés une seule fois au départ pour calculer α₃, puis recalculés à la fin une fois tous les autres paramètres déterminés.

Si l’on considère maintenant les γ_i et ω_i comme des inconnues et si l’on rajoute un paramètre a₀ (en relation directe avec la largeur angulaire maximale), il se rajoute une quatrième équation de type (1), et l’on obtient un système de 21 équations à 21 inconnues et 10 paramètres. Le choix de ce qui joue le rôle de paramètre et celui d’inconnue est d’ailleurs totalement arbitraire : on peut soit tenter de résoudre les équations en fonction des données mesurées (méthode directe), ou bien attribuer des valeurs test à des inconnues et calculer quelles devraient alors être les valeurs mesurées, et les comparer aux mesures effectives, ou bien même une méthode mixte.

Une nouvelle méthode de calcul :

Il s’avère que cette dernière méthode est la plus efficace et facile à mettre en œuvre : nous posons comme valeurs test les azimuts β_i et les aplatissements r_i, ainsi que la largeur angulaire maximale 2ε₀, ce qui permet de calculer tous les autres paramètres angulaires ou dimensionnels. Le choix des β_i comme valeurs de test vient de ce que cela conduit à une moindre sensibilité aux variations.
La procédure est la suivante : (2) fournit α_i en fonction de α₀ et β_i ; χ étant fonction de α₁, α₂, β_i et β₂, χ est fonction de α₀, β₁ et β₂ ; par inversion, α₀ est fonction de χ, β₁ et β₂, et donc α_i est fonction de χ et des β_k. (3) fournit γ_i en fonction de χ et des β_k. L’inversion de (6) fournit Ω_i en fonction de χ, r_i et des β_k. (5) fournit ω_i en fonction de χ, r_i et des β_k. On peut contrôler que (4) est bien vérifiée, preuve que les équations étaient dépendantes et qu’on ne pouvait pas attribuer des valeurs mesurées quelconques à la fois à r, γ_i et ω_i. Le paramètre ε₀ permet enfin avec (1) de trouver a_i en fonction de ε₀, χ et des β_k (et bien sûr de la distance focale f), puis de trouver b_i en fonction de ε₀, χ et des β_k.
La simple donnée de valeurs test pour les β_i permet donc de déduire les α_i et les γ_i ; la donnée de valeurs mesurées et corrigées pour les r_i permet de déduire les Ω_i et les ω_i ; la donnée d’une valeur test pour ε₀ permet de déduire les a_i et les b_i. Le jeu de test permet aussi de calculer la position du nuage et de l’horizon sur la photo 4 et donc de le valider ou non. Il faut ensuite que les valeurs trouvées pour γ–ω soient compatibles avec celles mesurées sur les photos 3 et 4 où la mesure est fiable, et que les valeurs a et b soient cohérentes avec celles mesurées après correction de distorsion.

En cours de rédaction…

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