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Lac Chauvet, 1952

Les cas solides :

Lac Chauvet, France, 1952

VI-Annexe : Analyse des photos / La théorie


Formules mathématiques de base soutenant l’analyse détaillée des photos du Lac Chauvet par Laurent Guérin (chapitre VI)

Estimation de la position sur la photo d’un point repéré par ses coordonnées sphériques (hauteur angulaire α, azimut β) en fonction de la direction de visée (hauteur angulaire ψ, azimut φ) et de la distance focale f

La photo est prise selon un axe de visée u = (cos ψ.cos φ, cos ψ.cos φ, sin ψ).
Le plan focal orthogonal à u passant à distance f (correspondant à l’image photographique une fois celle-ci ré-inversée) est formé des points f.u+x.v+y.w où (v, w) est la base du plan, avec v dans le sens des azimuts croissants et w dans le sens des hauteurs angulaires croissantes :
        v = (cos φ, –sin φ, 0),
        w = (–sin ψ.sin φ, –sin ψ.cos φ, cos ψ).

Soit un objet dans la direction s = (cos α.sin β, cos α.cos β, sin α).
Son image dans le plan focal ci-dessus est telle que z.s = f.u+x.v+y.w. Donc z = f/u·s ; puis x = z.v·s et y = z.w·s soit x = f.v·s/u·s et y = f.w·s/u·s. Le calcul donne :
        u·s = cos α.cos ψ.cos(βφ)+sin α.sin ψ,
        v·s = cos α.sin(βφ),
        w·s = –cos α.sin ψ.cos(βφ)+sin α.cos ψ.

Ces formules directes permettent donc de déterminer les coordonnées de l’image d’un objet par rapport au centre de la photo, connaissant sa hauteur angulaire et son azimut, ainsi que la hauteur angulaire et l’azimut de l’axe de visée.

Par inversion, ces formules permettent également de déterminer d’une part la hauteur angulaire et l’azimut de l’axe de visée connaissant la hauteur angulaire et l’azimut d’un objet et les coordonnées de son image par rapport au centre de la photo (le repère pouvant être orienté dans le sens des azimuts et des hauteurs angulaires), et d’autre part la hauteur angulaire et l’azimut d’un objet connaissant la hauteur angulaire et l’azimut de l’axe de visée et les coordonnées de l’image de l’objet par rapport au centre de la photo.

Après quelques transformations algébriques, on trouve les formules d’inversion suivantes, avec x' = x/f et y' = y/f :
d’une part :
        tg ψ = [(1+x'2+y'2)½.(1+y'2x'2.tg2α)½.tg αy'.(1+tg2α)]/[1–(x'2+y'2).tg2α],
        tg(βφ) = x'/(cos ψy'.sin ψ) (ψ fonction de α selon la formule précédente) ;
d’autre part :
        tg α = (tg ψ+y')/[1+x'2–2.y'.tg ψ+(x'2+y'2).tg2ψ]½,
        tg(βφ) = x'/(cos ψy'.sin ψ).

Démonstration :
On note λ = βφ ; on définit la fonction T θ = (1+tg2θ)½, de sorte que cos θ = 1/T θ et sin θ = tg θ/T θ. Alors :
        x' = x/f = tg λ.T ψ/(1+tg α.tg ψ.T λ),
        y' = y/f = (–tg ψ+tg α.T λ)/(1+tg α.tg ψ.T λ).
De la deuxième équation, on tire tg α.T λ = (tg ψ+y')/(1–y'.tg ψ), d’où 1+tg α.tg ψ.T λ = T2ψ/(1–y'.tg ψ).
En reportant dans la première équation, on tire tg λ = x'.T ψ/(1–y'.tg ψ).
Donc (tg ψ+y')2/(1–y'.tg ψ)2 = tg2α.T2λ = tg2α.(1+tg2λ) = tg2α.[1+x'2.T2ψ/(1–y'.tg ψ)2], soit (tg ψ+y')2 = tg2α.[(1–y'.tg ψ)2+x'2.(1+tg2ψ)].
Donc tg ψ vérifie l’équation du second degré [1–(x'2+y'2).tg2α].tg2ψ+2.y'.(1+tg2α).tg ψ–[(1+x'2).tg2αy'2] = 0.
Discriminant réduit : (1+x'2+y'2).(1+y'2x'2.tg2α).tg2α.
Donc tg ψ = [(1+x'2+y'2)½.(1+y'2x'2.tg2α)½.tg αy'.(1+tg2α)]/[1–(x'2+y'2).tg2α].
Puis tg λ = x'.T ψ/(1–y'.tg ψ) soit tg λ = x'/(cos ψy'.sin ψ).
Mais l’équation du second degré donne aussi [tg2ψ+2.y'.tg ψ+y'2] = tg2α.[1+x'2–2.y'.tg ψ+(x'2+y'2).tg2ψ].
Donc tg α = (tg ψ+y')/[1+x'2–2.y'.tg ψ+(x'2+y'2).tg2ψ]½.

Calcul de l’angle de déplacement de l’objet entre les photos 1 et 2, par composition des photos

On définit (i, j, k) le repère lié à la photo 1, i étant orienté selon le grand côté de la photo, j selon le petit côté de la photo, et k dans l’axe de visée de la photo, en direction de l’observateur.
Dans ce repère, un point Pi mesuré à une distance d1i du centre et faisant un angle φ1i par rapport au grand côté de la photo 1 a pour direction le vecteur pi = (sin θ1i.cos φ1i, sin θ1i.sin φ1i, –cos θ1i), avec tg θ1i = d1i/f.
Toujours dans ce repère, l’axe de visée de la photo 2 fait un angle λ avec celui de la photo 1, et un angle η avec son grand côté, où λ et η sont des inconnues. Le vecteur dans l’axe de visée de la photo 2, en direction de l’observateur, est w = (–sin λ.cos η, –sin λ.sin η, cos λ).

Un repère particulier lié à la photo 2 est (u0, v0, w) avec :
        u0 = (–cos λ.cos η, –cos λ.sin η, –sin λ),
        v0 = (sin η, –cos η, 0).
Si ω est une inconnue correspondant à une rotation autour de l’axe de visée de la photo 2, un repère général lié à la photo 2 est (u, v, w) avec :
        u = (sin ω.sin η–cos ω.cos λ.cos η, –sin ω.cos η–cos ω.cos λ.sin η, –cos ω.sin λ),
        v = (cos ω.sin η+sin ω.cos λ.cos η, –cos ω.cos η+sin ω.cos λ.sin η, sin ω.sin λ).

L’inversion permet de trouver les coordonnées des vecteurs i, j et k dans la base (u, v, w) :
        i = (sin ω.sin η–cos ω.cos λ.cos η, cos ω.sin η+sin ω.cos λ.cos η, –sin λ.cos η),
        j = (–sin ω.cos η–cos ω.cos λ.sin η, –cos ω.cos η+sin ω.cos λ.sin η, –sin λ.sin η),
        k = (–cos ω.sin λ, sin ω.sin λ, cos λ).

Le vecteur pi, qui par ailleurs doit être de la forme (sin θ2i.cos φ2i, sin θ2i.sin φ2i, –cos θ2i), avec tg θ2i = d2i/f, a donc pour coordonnées dans le repère de la photo 2 :
        cos θ1i.cos ω.sin λ–sin θ1i.sin ω.sin(φ1iη)–sin θ1i.cos ω.cos λ.cos(φ1iη) = sin θ2i.cos φ2i,
        –cos θ1i.sin ω.sin λ–sin θ1i.cos ω.sin(φ1iη)+sin θ1i.sin ω.cos λ.cos(φ1iη) = sin θ2i.sin φ2i,
        –cos θ1i.cos λ–sin θ1i.sin λ.cos(φ1iη) = –cos θ2i ;
ce qui permet de calculer d2i et φ2i en fonction des mesures de d1i et φ1i et des inconnues λ, η et ω, puis de les comparer avec les mesures de d2i et φ2i. Avec trois points, on peut déterminer λ, η et ω. Avec plus de points, on peut optimiser ces valeurs pour avoir un écart minimal, aux moindres carrés.

Une fois les paramètres λ, η et ω déterminés, on mesure la position de l’objet dans le repère de la photo 1. Il a pour direction le vecteur s1 = (sin θ1.cos φ1, sin θ1.sin φ1, –cos θ1), avec tg θ1 = d1/f.
Puis on calcule la direction qu’il aurait eue dans le repère de la photo 2 s’il n’avait pas bougé. Il aurait pour direction le vecteur s2' :
        cos θ1.cos ω.sin λ–sin θ1.sin ω.sin(φ1η)–sin θ1.cos ω.cos λ.cos(φ1η),
        –cos θ1.sin ω.sin λ–sin θ1.cos ω.sin(φ1η)+sin θ1.sin ω.cos λ.cos(φ1η),
        –cos θ1.cos λ–sin θ1.sin λ.cos(φ1η).

On mesure enfin la position de l’objet dans le repère de la photo 2. Il a pour direction le vecteur s2 = (sin θ2.cos φ2, sin θ2.sin φ2, –cos θ2), avec tg θ2 = d2/f. L’angle de déplacement χ de l’objet entre les deux photos est alors tel que cos χ = s2·s2'.

Établissement des formules générales

Le disque est de rayon ρ, se déplace horizontalement en ligne droite (abscisse x) à hauteur h, et est vu à une hauteur angulaire α et à un azimut β. Il est à une distance d, et à une distance projetée au sol l. On note respectivement α0, d0 et l0 la hauteur angulaire maximale, la distance minimale et la distance projetée au sol minimale.
Alors tg α = h/l, tg α0 = h/l0, cos β = l0/l, donc cos β = tg α/tg α0 (2).
On note ε = ρ/d la demi-largeur angulaire du disque. Comme sin α = h/d, alors ε = ρ.sin α/h et sin α/ε = h/ρ = cste (1).

Le disque est incliné autour de trajectoire d’un angle Ω, compté positivement de sorte que l’ellipse apparente soit plus ouverte. Le point arrière A du disque a pour cordonnées (ρ, 0, 0), tandis que le vecteur normal au disque n, orienté vers le bas, a pour cordonnées (0, –sin Ω, –cos Ω).

Le disque est dans la direction u = (–cos α.sin β, –cos α.cos β, –sin α), u pointant vers l’observateur. Une base du plan de projection de vision du disque (orthogonal à u) est (v, w) avec v dans le sens des azimuts croissants et w dans le sens des hauteurs angulaires croissantes :
        v = (cos β, –sin β, 0),
        w = (–sin α.sin β, –sin α.cos β, cos α).
La projection du point A dans le plan de projection a pour coordonnées (ρ.cos β, –ρ.sin α.sin β) dans (v, w). La trajectoire est donc vue faisant un angle γ avec l’horizon tel que tg γ = –sin α.tg β (3).
Le disque est vu sous une ellipse, dont la projection sur le plan de vision a un grand axe de dimension ρ orienté d’un angle ω par rapport à l’horizontale, compté positivement avec Ω et β comptés dans le même sens. Elle a un petit axe de dimension σ. L’aplatissement r de l’ellipse est σ/ρ.
Les correspondances entre les dimensions réelles projetées (ρ et σ) et les dimensions mesurées sur la photo (a et b) sont : a/f = ρ/d (= ε) et b/f = σ/d, où f est la distance focale. On a donc sin α/a = h/ρf = cste (1).

Une base liée aux axes de cette ellipse est (v', w') avec v' = cos ω.v+sin ω.w et w' = –sin ω.v+cos ω.w. On a réciproquement v = cos ω.v'–sin ω.w' et w = sin ω.v'+cos ω.w'.
Les coordonnées d’un point dans les deux bases sont liées par x' = x.cos ω+y.sin ω et y' = –x.sin ω+y.cos ω, et réciproquement par x = x'.cos ωy'.sin ω et y = x'.sin ω+y'.cos ω.

L’équation de l’ellipse dans (v', w') est (x'/ρ)2+(y'/σ)2 = 1. Le point A, qui appartient à cette ellipse, a pour coordonnées (x'A, y'A = x'A.tg(γω)), d’où x'A = ρ/(1+tg2(γω)/r2)½.

Si le disque était horizontal (Ω = 0), le point A appartiendrait aussi à l’ellipse redressée dont l’équation dans (v, w) est (x/ρ)2+(y/σ0)2 = 1, avec σ0 = ρ.sin α.
On en déduit sin α = –sign β.yA/(ρ2xA2)½ puis tg α = –sign β.yA/(ρ2xA2yA2)½.
Or xA = x'A.cos ωy'A.sin ω et yA = x'A.sin ω+y'A.cos ω = x'A.(sin ω+tg(γω).cos ω), puis xA2+yA2 = x'A2+y'A2 = x'A2.(1+tg2(γω)), donc ρ2xA2yA2 = ρ2.(1/r2–1).tg2(γω)/(1+tg2(γω)/r2) = x'A2.(1–r2).tg2(γω)/r2.
Donc tg α = –sign β.r.(1–r2)–½.(sin ω+tg(γω).cos ω)/|tg(γω)|, soit tg α = r.(1–r2)–½.sin γ/sin(γω) (4).

Le point A a donc pour coordonnées dans (u, v, w) (le signe de zA est celui de γω) :
        zA = x'A.((1–r2)½/r).tg(γω) = ρ.((1–r2)½/r).tg(γω)/(1+tg2(γω)/r2)½,
        xA = x'A.(cos ω–tg(γω).sin ω) = ρ.(cos ω–tg(γω).sin ω)/(1+tg2(γω)/r2)½,
        yA = x'A.(sin ω+tg(γω).cos ω) = ρ.(sin ω+tg(γω).cos ω)/(1+tg2(γω)/r2)½.

Soit le point B ayant pour coordonnées (0, σ = r.ρ) dans (v', w') ; il a pour coordonnées (–σ.sin ω, σ.cos ω) dans (v, w), et donc (ρ.(1–r2)½, –σ.sin ω, σ.cos ω) dans (u, v, w) (le signe de zB est positif).

Le vecteur normal au disque n, orienté vers l’observateur, est donné par A×B (produit vectoriel). Il a donc pour coordonnées (r, (1–r2)½.sin ω, –(1–r2)½.cos ω) dans (u, v, w), après normalisation.
Les coordonnées de n dans le repère de base sont donc :
        –r.cos α.sin β+(1–r2)½.cos β.sin ω+(1–r2)½.sin α.sin β.cos ω = 0,
        –r.cos α.cos β–(1–r2)½.sin β.sin ω+(1–r2)½.sin α.cos β.cos ω = –sin Ω,
        –r.sin α–(1–r2)½.cos α.cos ω = –cos Ω.

En combinant les deux premières relations, on en déduit (1–r2)½.sin ω = sin Ω.sin β (5). En combinant ce résultat avec la troisième pour éliminer ω, on en déduit (1–r2).sin2α = (cos Ωr.sin α)2+sin2Ω.cos2α.sin2β. En résolvant cette équation du second degré en r, on trouve r = sin α.cos Ω+cos α.sin Ω.cos β (6) (le signe est déterminé de sorte que r = sin(α+Ω) si β = 0), ce qui permet d’en déduire ω.

La position x sur la trajectoire est x = l.sin β = d.cos α.sin β = f.ρ.cos α.sin β/a. Si l’objet se déplace à vitesse constante –v, l’instant t auquel l’objet est à la position x est donc t = –x/v = –f.τ.cos α.sin β/aτ = ρ/v est le temps que met l’objet pour parcourir son rayon.

Calcul de la hauteur angulaire maximale α0 en fonction des hauteurs angulaires de l’objet sur les photos 1 et 2 et de l’écart angulaire χ

L’objet est successivement dans les directions si = (cos αi.sin βi, cos αi.cos βi, sin αi).
On a donc cos χ = s1·s2 = cos α1.cos α2.sin β1.sin β2+cos α1.cos α2.cos β1.cos β2+sin α1.sin α2
En utilisant cos βi = tg αi/tg α0, on en déduit :
        tg2α0 = [2.cos χ.sin α1.sin α2–sin2α1–sin2α2]/[(cos χ–sin α1.sin α2)2–cos2α1.cos2α2].

Démonstration :
En remplaçant cos βi = tg αi/tg α0, on obtient (β1 et β2 sont de signes opposés) :
        cos χ.tg2α0 = –(cos2α1.tg2α0–sin2α1)½.(cos2α2.tg2α0–sin2α2)½+sin α1.sin α2+sin α1.sin α2.tg2α0.
En notant ξ = cos χ–sin α1.sin α2, on obtient successivement :
        (ξ.tg2α0–sin α1.sin α2)2 = (cos2α1.tg2α0–sin2α1).(cos2α2.tg2α0–sin2α2),
        (ξ2–cos2α1.cos2α2).tg2α0 = 2.ξ.sin α1.sin α2–(cos2α1.sin2α2+sin2α1.cos2α2),
ce qui conduit au résultat.


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Article créé le : 10/05/2004